[發明專利]一種測量結晶器熱面熱流密度、溫度的方法

有效

• 申請號: 201410782813.0
• 申請日: 2014-12-16
• 公開（公告）號: CN104458040A
• 公開（公告）日: 2015-03-25
• 發明（設計）人: 王萬林;周樂君;張海輝;江斌斌;謝森林;趙歡;馬范軍
• 申請（專利權）人: 中南大學
• 主分類號: G01K7/02
• 分類號: G01K7/02
• 代理公司: 長沙市融智專利事務所 43114
• 代理人: 顏勇

1.一種測量結晶器熱面熱流密度、溫度的方法，其特征在于包括下述步驟：

步驟一

沿結晶器拉坯方向方向，在結晶器壁內縱剖面內，選取垂直結晶器熱面的、高度為H、寬度為d₂的矩形區域ABCD，所述矩形區域的豎直邊分別為AB邊、CD邊，且AB邊位于結晶器熱面上，CD邊位于結晶器壁內；選取矩形區域ABCD后；在CD邊上設置一組熱電偶，并將該組熱電偶計為第一組熱電偶，且第一組熱電偶位于同一條豎直線上；在在第一組熱電偶與其所對應的結晶器熱面間設有第二組熱電偶；所述H≤結晶器的高度；所述d₂≤結晶器的壁厚；

步驟二

連鑄時，以一定的采集頻率f測量、存儲結晶器壁內，時間[t₁,t₂]熱電偶溫度；

步驟三

采用二維傳熱反問題把[t₁,t₂]時間段，結晶器壁測量的溫度轉換為結晶器熱面熱流密度、溫度與結晶器壁內的溫度；其過程如下：

a確定計算域Ω

選取矩形區域ABCD為數學計算域，并記為Ω，同時令B為原點O；

所述Ω有四個邊界，其上、下邊界AD、BC分別記為和其左、右邊界AB、CD分別記為和

b反算法求解傳熱數學模型

反問題目的是：為Ω的三個邊界尋找邊界熱流密度函數和使得正問題方程封閉、而且使得正問題中計算出熱電偶所在位置處(x_m,y_m)的溫度值等于熱電偶的測量值Y_m；

于是傳熱反問題簡化為目標函數的最小化過程；所述目標函數的表達式為式(1)：

s[Q(∂Ω1,2,3,t)]=Σm=1M∫t1t2{Ym-Tm[t;Q(∂Ω1,2,3,t)]}2dt---(1)]]>

式(1)中：

M為矩形區域ABCD不包括CD邊在內，所設置熱電偶的數目，

Y_m和分別為熱電偶所在位置處(x_m,y_m)測量的溫度值和通過正問題計算的溫度值；

∂Ω1={(x,y)|0≤x≤d2,y=H},∂Ω2={(x,y)|x=0,0≤y≤H},∂Ω3={(x,y)|0≤x≤d2,y=0},]]>

Q(∂Ω1,2,3)=Q(∂Ω1)∪Q(∂Ω2)∪Q(∂Ω3);]]>

然后采用共軛梯度法求解目標函數的最小值，其過程如下：

第1步

令迭代步數i＝0,在時間段[t₁,t₂]內，假設邊界的熱流密度函數和為常數函數，其值都為常數，所述常數選自0-2×10⁶中任意一個數值；

第2步

求解計算域Ω內的傳熱過程，將待求解的問題轉為求解傳熱偏微分的初邊界(正)問題；把假設的j＝1?to?3帶入下列正問題T(x,y,t)偏微分方程：

cρ∂T∂t=∂∂x(k∂T∂x)+∂∂y(k∂T∂y),(x,y)∈Ω,t∈[t1,t2]---(2a)]]>

k∂T∂y=Q(∂Ω1,t)at∂Ω1---(2b)]]>

-k∂T∂x=Q(∂Ω2,t)at∂Ω2---(2c)]]>

-k∂T∂y=Q(∂Ω3,t)at∂Ω3---(2d)]]>

T(x,y,t)=f(∂Ω4,t)at∂Ω4---(2e)]]>

T(x,y,t)＝T_ini??????????????????for?t＝t₁.(2f)

式(2a)-(2f)中：

c為結晶器的熱容，其單位為J/kg；

ρ結晶器的密度，其單位為kg/m³；

t為時間，其單位為s；

k為結晶器的導熱系數，其單位為J/(m·s·K)；

T_ini為反應計算域Ω內t₁時刻溫度分布的函數(函數自變量為x,y)；

為t時刻邊界的溫度，其值由邊界上熱電偶測量；或者對相鄰的兩個熱電偶溫度進行空間線性插值計算他們之間沒有熱電偶地方的溫度，即：

f(Ω4,t)=Y(ym,t),(2g)Y(ym,t)-Y(ym-1,t)ym-ym-1(y-ym-1),(2h)]]>

式(2g)是指有熱電偶時，邊界Ω₄的溫度，其值為熱電偶位置(d₂,y_m)處t時刻溫度測量值Y(y_m,t)，且d₂為第一組熱電偶到結晶器熱面的距離；

式(2h)是指無熱電偶時，邊界Ω₄的溫度，其值為由邊界Ω₄上相鄰的兩個熱電偶Y(y_m,t)和Y(y_m-1,t)的溫度對空間進行線性插值計算得到；

求解正問題，得到計算域Ω在時間段[t₁,t₂]內的結晶器壁內的溫度變化；同時也計算出結晶器熱面溫度和結晶器內熱電偶所在位置處的溫度值Tm[t;Qi(∂Ω1,2,3,t)];]]>

第3步.把第2步計算的熱電偶所在位置的溫度值代入方程(1)求解得目標函數值并判斷下面收斂標準是否成立，

s[Q(∂Ω1,2,3,t)]≤ϵ---(3)]]>

式(3)中：

由于熱電偶測量時含有誤差；所述熱電偶本身測量誤差的標準差為σ，故可以依據Discrepancy?Principle計算收斂容差，得ε＝Mσ²(t₂-t₁)；

如果滿足，則認為時間段[t₁,t₂]內結晶器熱面熱流密度為第2步計算得到的結晶器壁溫度變化和結晶器熱面溫度變化為真實值；否則，進入第4步；

第4步.把第二步計算的熱電偶所在位置的溫度值代入下列伴隨問題偏微分方程，計算得伴隨問題λ(x,y,t)：

[∂∂x(k∂λ∂x)+∂∂y(k∂λ∂y)]+Σm=1Mi2{Tm[t;Q(∂Ω1,2,3,t)]-Ym}δ(x-xm)δ(y-ym)=-ρc∂λ∂t(x,y)∈Ω,t∈(t1,t2]---(4a)]]>

k∂λ∂y=Σm=1M12{Tm[t;Q(∂Ω1,2,3,t)]-Ym}δ(x-xm)δ(y-ym)at∂Ω1---(4b)]]>

-k∂λ∂x=0at∂Ω2---(4c)]]>

-k∂λ∂y=Σm=1M32[Tm[t;Q(∂Ω1,2,3,t)]-Ym]δ(x-xm)δ(y-ym)at∂Ω3---(4d)]]>

λ(x,y,t)=0at∂Ω4---(4e)]]>

λ(x,y,t)＝0??????????????for?t＝t₂.(4f)

式(4a)-(4d)中：δ(.)為Dirac?delta算子；

把伴隨問題λ(x,y,t)帶入梯度公式(5)中，計算得目標函數的梯度▿s[Q(∂Ωj,t)],]]>

▿s[Q(∂Ωj,t)]=λ(∂Ωj,t).j=1to3---(5)]]>

第5步.把第4步的計算的j＝1?to?3帶入共軛系數公式(6)中，計算得共軛系數(j＝1?to?3)：

γji=max(0,γj,DYi,γj,HSi)]]>當i＝1時，γji=0.]]>???????(6)

式(6)中：

γj,DYi=∫t1t2∫Ωj{▿s[Qi(∂Ωj,t)]}2dΩjdt∫t1t2∫Ωjdi-1(∂Ωj,t){▿s[Qi(∂Ωj,t)]-▿s[Qi-1(∂Ωj,t)]}dΩjdt]]>

γj,HSi=∫t1t2∫Ωj▿s[Qi(∂Ωj,t)]{▿s[Qi(∂Ωj,t)]-▿s[Qi-1(∂Ωj,t)]}dΩjdt∫t1t2∫Ωjdi-1(∂Ωj,t){▿s[Qi(∂Ωj,t)]-▿s[Qi-1(∂Ωj,t)]}dΩjdt]]>

第6步.把第4步的計算梯度和第5步計算的共軛系數代入搜索方向公式(7)中，計算搜索方向

di(∂Ωj,t)=▿s[Qi(∂Ωj,t)]+γjidi-1(∂Ωj,t)---(7)]]>

第7步.解靈敏度問題偏微分方程

ρc∂ΔT∂t=∂∂x(k∂ΔT∂x)+∂∂y(k∂ΔT∂y),(x,y)∈Ω,t∈[t1,t2]---(8a)]]>

k∂ΔT∂y=ΔQ(∂Ω1,t)at∂Ω1---(8b)]]>

-k∂ΔT∂x=ΔQ(∂Ω2,t)at∂Ω2---(8c)]]>

-k∂ΔT∂y=ΔQ(∂Ω3,t)at∂Ω3---(8d)]]>

ΔT(x,y,t)=0at∂Ω4---(8e)]]>

ΔT(x,y,t)＝0????????for?t＝t₁.??????????????????(8f)

以第6步計算的搜索方向為已知條件，聯立式(8a)-(8f)，并

令ΔQ(∂Ω1,t)=di(∂Ω1,t)]]>和ΔQ(∂Ω2,t)=ΔQ(∂Ω3,t)=0,]]>計算

以第6步計算的搜索方向為已知條件，聯立式(8a)-(8f)，并

令ΔQ(∂Ω2,t)=di(∂Ω2,t)]]>和ΔQ(∂Ω1,t)=ΔQ(∂Ω3,t)=0,]]>計算

以第6步計算的搜索方向為已知條件，聯立式(8a)-(8f)，并

令ΔQ(∂Ω3,t)=di(∂Ω3,t)]]>和ΔQ(∂Ω1,t)=ΔQ(∂Ω2,t)=0]]>計算

第8步.把第7步的計算的熱電偶所在位置處(x_m,y_m)的靈敏度(j＝1?to?3)值代入下面搜索步長方程，計算搜索步長(j＝1?to?3)；

Σm=1M∫t1t2(ΔT1,mi)2ΔT1,miΔT2,miΔT1,miΔT3,miΔT2,miΔT1,mi(ΔT2,mi)2ΔT2,miΔT3,miΔT3,miΔT1,miΔT3,miΔT2,mi(ΔT3,mi)2β1iβ2iβ3idt=Σm=1M∫t1t2(Tmi-Ymi)ΔT1,mi(Tmi-Ymi)ΔT2,mi(Tmi-Ymi)ΔT3,midt---(9)]]>

第9步.把第6步的計算搜索方向和第8步的計算搜索步長代入下面熱流密度更新公式，計算新的j＝1?to?3；

qi+1(∂Ωj,t)=Qi(∂Ωj,t)-βjidi(∂Ωj,t)for j=1to3---(10)]]>

第10步.令i＝i+l返回第2步，依次循環；直至滿足第3步條件，即認為第9步計算得到的熱流密度為真實的結晶器熱面熱流密度，以及第2步計算得到的結晶器壁溫度變化和結晶器熱面溫度變化為真實值。