[發明專利]一種小車倒立擺系統的有限時間解耦控制方法

有效

• 申請號: 201410403464.7
• 申請日: 2014-08-15
• 公開（公告）號: CN104267596B
• 公開（公告）日: 2017-06-13
• 發明（設計）人: 陳強;湯筱晴
• 申請（專利權）人: 浙江工業大學
• 主分類號: G05B13/04
• 分類號: G05B13/04
• 代理公司: 杭州天正專利事務所有限公司33201
• 代理人: 王兵,黃美娟

1.小車倒立擺系統的有限時間解耦控制方法，包含以下步驟：

步驟1，建立如式(1)所示四階的小車倒立擺系統的動態模型，初始化系統狀態、采樣時間以及相關控制參數；

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=a_1(x,t)+c_1(x,t)v_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=a_2(x,t)+c_2(x,t)v_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂,x₃,x₄]^T是狀態向量；a₁(x,t)，a₂(x,t)≠0是未知非線性函數；c₁(x,t)，c₂(x,t)為以下非線性函數：

$c_1(x,t)=\frac{cos\left(x_1\right)}{L(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2(x_1\left)\right)}---\left(2\right)$

$c_2(x,t)=\frac{4}{3(\frac{4}{3}{m}_t-m_p{\cos }^2(x_1\left)\right)};---\left(3\right)$

d₁(t)和d₂(t)表示外部干擾，并且，|d₁(t)|≤D₁(t)，|d₂(t)|≤D₂(t)；v₁(t)，v₂(t)為飽和函數輸出值，表示為：

$v\left(t\right)=sat\left(u\right)=\left\{\begin{array}{ccc}sign\left(u\right)v_{max}& if& \left|u\left(t\right)\right|\≥v_{max}\\ u& if& \left|u\left(t\right)\right|\<v_{max}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，u(t)∈R是實際控制信號；v_max為飽和函數寬度參數；

步驟2，將系統中的飽和函數近似為一個簡單的時變系統，推導出帶有飽和函數的系統模型；

2.1將飽和函數近似為一雙曲正切函數，定義為：

$g\left(u\right)=v_{max}\×\tanh (u/v_{max})=u_{max}\×\frac{e^{u/v_{max}}-e^{-u/v_{max}}}{e^{u/v_{max}}+e^{-u/v_{max}}}---\left(5\right)$

然后，sat(u)被定義為：

sat(u)＝g(u)+d(u) (6)

2.2根據微分中值定理，可得

g(u)＝g(u₀)+g′(u)×(u-u₀) (7)

其中，g′(u)為g(u)在u處的一階導數；

因此，當取u₀＝0時

g(u)＝g′(u)×u (8)

將式(8)代入式(6)得：

$\begin{array}{cc}v=g^{\′}\left(u\right)u+d\left(u\right)& \∀t\≥0\end{array}---\left(9\right)$

2.3將簡化后的飽和函數式(9)代入式(1)可得：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(10\right)$

其中，x₁(t)是擺桿角位移，x₂(t)是擺桿角速度；x₃(t)是小車位移，x₄(t)是小車速度；x＝[x₁,x₂,x_3,x₄]^T為輸入向量；f₁(x,t)＝a₁(x,t)+c₁(x,t)d(u)和f₂(x,t)＝a₂(x,t)+c₂(x,t)d(u)是未知非線性函數；b₁(x,t)＝c₁(x,t)×g'(u₁)，b₂(x,t)＝c₂(x,t)×g'(u₂)；

步驟3，將式(10)表示的小車倒立擺系統劃分為兩個二階子系統，計算控制系統的跟蹤誤差、非奇異終端滑模面及其一階導數；

3.1將式(10)表示的小車倒立擺系統劃分為兩個二階子系統

$subsystem1:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\end{array}\right.---\left(11\right)$

$subsystem2:\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_2\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(12\right)$

3.2定義如式(13)和(14)所示非線性滑模面：

$S_1={\mathrm{\λ}}_1|x_1-z{|}^{{\mathrm{\γ}}_1}sign(x_1-z)+x_2---\left(13\right)$

$S_2={\mathrm{\λ}}_2|x_3{|}^{{\mathrm{\γ}}_2}sign\left(x_3\right)+x_4---\left(14\right)$

其中，λ₁和λ₂是正常數；z是一個中間變量定義為z＝sat(S₂/φ_z)z_u，0＜z_u＜1，φ_z是S₂的界；p₁，q₁，p₂和q₂是正奇數滿足p₁＞q₁和p₂＞q₂；因為(x₁-z)＜0和x₃＜0，分數γ₁和γ₂使得和因此，不會產生奇異值問題；

3.3對式(13)進行微分，可得

${\stackrel{\·}{S}}_1={\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\λ}}_1|x_1-z{|}^{{\mathrm{\γ}}_1-1}({\stackrel{\·}{x}}_1-\stackrel{\·}{z})+{\stackrel{\·}{x}}_2---\left(15\right)$

為使系統在有限時間內趨于穩定，需要滿足以下條件

${\stackrel{\·}{S}}_1=-k_1{S}_1-k_2|S_1{|}^{\mathrm{\ρ}}sign\left(S_1\right)---\left(16\right)$

其中，0＜ρ＜1,k₁＞0并且k₂＞0；

根據有限時間穩定性定理可得，平衡點為x₁＝z并且x₃＝0；

步驟4，針對式(10)表示的小車倒立擺系統，選擇神經網絡逼近未知函數，并根據系統跟蹤誤差、非奇異終端滑模面，設計神經網絡有限時間解耦控制器，更新神經網絡權值矩陣；

4.1將和式(16)代入式(15)，解得控制信號u₁(t)的表達式為

$u_1\left(t\right)=\frac{-1}{b(x,t)}\[f_1(x,t)+d_1\left(t\right)+{\mathrm{\γ}}_1{\mathrm{\λ}}_1|x_1-z{|}^{{\mathrm{\γ}}_1-1}({\stackrel{\·}{x}}_1-\stackrel{\·}{z})+k_1{S}_1+k_2|S_1{|}^{\mathrm{\ρ}}sign\left(S_1\right)\]---\left(17\right)$

4.2設計神經網絡逼近未知函數則有

$\frac{f_1(x,t)+d_1\left(t\right)}{b(x,t)}=W^T\mathrm{\φ}\left(X\right)+\mathrm{\ϵ}---\left(18\right)$

其中，其中W為理想權重，φ(X)為神經網絡基函數，X為神經網絡輸入向量，ε表示神經網絡逼近誤差；φ(x)取為以下函數：

$\mathrm{\φ}\left(X\right)=\frac{a}{b+\exp \left(\frac{-X}{c}\right)}+d---\left(19\right)$

其中，a，b，c和d均為正常數；

將式(18)和式(19)代入式(17)，可得

其中，為理想權重W的估計值，為自適應控制參數，δ為正常數；其中，ε_N為一個正常數，表示神經網絡逼近誤差的上限；

4.3設計u₂(t)＝u₁(t)，則式(10)可轉化為

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)=x_2\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)=f_1(x,t)+b_1(x,t)u_1\left(t\right)+d_1\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_3\left(t\right)=x_4\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_4\left(t\right)=f_2(x,t)+b_2(x,t)u_1\left(t\right)+d_2\left(t\right)\end{array}\right.---\left(21\right)$

此時，擺桿與小車之間已解耦；

4.4設計神經網絡權重和自適應控制參數的更新律為：

$\stackrel{\·}{\hat{W}}=K_C\mathrm{\φ}\left(X\right){S_1}^T---\left(22\right)$

其中，K_C一個正常數；

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\μ}}}=v_{\mathrm{\μ}}{S}_1\tanh (S_1/\mathrm{\δ})---\left(23\right)$

其中，v_μ一個正常數；

步驟5，設計李雅普諾夫函數其中，M為一正定對稱矩陣，則可以證明S₁趨向于零，即x₁趨向于z；同時，式(13)中，z是一個有界衰減函數，根據以上設計可得，當S₂＝0時，z＝0，x₃＝0；因此，可以證明閉環控制系統的穩定性。