[發明專利]一種基于干擾觀測器的柔性關節機械臂的滑模控制方法

無效

• 申請號: 201210052088.2
• 申請日: 2012-03-01
• 公開（公告）號: CN102591207A
• 公開（公告）日: 2012-07-18
• 發明（設計）人: 劉金琨;楊閎峻
• 申請（專利權）人: 北京航空航天大學
• 主分類號: G05B13/04
• 分類號: G05B13/04
• 代理公司: 北京慧泉知識產權代理有限公司 11232
• 代理人: 王順榮;唐愛華

1.一種基于干擾觀測器的柔性關節機械臂的滑模控制方法，其特征在于：該方法具體步驟如下：

步驟1：欠驅動柔性關節機械臂系統的分析與建模

根據動力學方程，對欠驅動柔性關節機械臂系統進行分析，便得到其數學模型如下：

Iq··+K(q-qm)+Mglsinq=0]]>(1)

Jq··m-K(q-qm)=u]]>

其中：q表示柔性關節機械臂連桿角度，q_m表示電機轉子角度，I表示柔性關節機械臂轉動慣量，J表示電機轉子轉動慣量，K表示關節剛度系數，M表示柔性關節機械臂連桿質量，g表示重力加速度，l表示關節到桿質心的距離，u表示電機轉矩；

該系統的控制目標為柔性關節機械臂連桿角度q，設跟蹤的理想角度為q_d，定義跟蹤誤差為e＝q-q_d；

令x₁＝q，x₃＝q_m，則式(1)寫為

x·1=x2]]>

x·2=-1I(Mglsinx1+K(x1-x3))]]>(2)

x·3=x4]]>

x·4=1J(u-K(x3-x1))]]>

取f1(x1,x3)=-1I(Mglsinx1+K(x1-x3)),]]>f2(x1,x3)=KJ(x1-x3),]]>同時考慮控制擾動，假設干擾d為慢時變信號，則

x·1=x2]]>

x·2=f1(x1,x3)]]>

x·3=x4---(3)]]>

x·4=f2(x1,x3)+1J(u-d)]]>

步驟2：干擾觀測器的設計及穩定性分析

針對二階系統設計干擾觀測器，分析其是否為Lyapunov穩定；取干擾觀測器Lyapunov函數為V_o，容易驗證當干擾d為慢時變信號即很小，并且取k₁為較大值時，有故通過采用本干擾觀測器，對干擾項進行有效的觀測；其具體過程如下：

針對二階系統

x·3=x4]]>

x·4=f2(x1,x3)+1J(u-d)---(4)]]>

設計干擾觀測器為：

d^·=k1(x^4-x4)---(5)]]>

x^·4=-1Jd^+1Ju-k2(x^4-x4)+f2(x1,x3)---(6)]]>

其中，為對d項的估計，為對x₄的估計，k₁＞0，k₂＞0；

穩定性分析如下：

首先，定義干擾觀測器的Lyapunov函數為

Vo=12k1d~2+12x~42---(7)]]>

其中d~=1J(d-d^),]]>x~4=x4-x^4;]]>

則

V·o=1k1d~d~·+x~4x~·4=1k1Jd~(d·-d^·)+x~4(x·4-x^·4)---(8)]]>

由于干擾d為慢時變信號，故很小，當取k₁為較大值時，有

1k1d·≈0---(9)]]>

將式(5)、(6)和式(9)代入式(8)，得

V·o=1k1Jd~d·-1k1Jd~d^·+x~4(x·4-(-1Jd^+1Ju-k2(x^4-x4)+f2(x1,x3)))]]>

=1k1Jd~d·-1k1Jd~k1(x^4-x4)+x~4(f2(x1,x3)+1J(u-d)-(-1Jd^+1Ju-k2(x^4-x4)+f2(x1,x3)))]]>(10)

=1k1Jd~d·-1Jd~(x^4-x4)+x~4(1J(-d+d^)+k2(x^4-x4))]]>

=1k1Jd~d·-1Jd~x~4+x~4(-1Jd~-k2x~4)=1k1Jd~d·-k2x~42≤0]]>

通過采用本干擾觀測器，取較大的k₁和k₂，對干擾項進行有效的觀測，從而實現干擾項d的補償；

步驟3：滑模控制律的設計

根據欠驅動柔性關節機械臂系統的模型信息，取滑模函數并令其導數得到等效控制部分u_eq，取滑模Lyapunov函數為令滑模函數得到切換控制部分u_sw，從而得出滑模控制律u＝u_eq+u_sw；

由步驟1，柔性關節機械臂連桿角度q定義為x₁，跟蹤的理想角度q_d定義為x_d，則跟蹤誤差定義為e＝x₁-x_d，取誤差方程為

e₁＝x₁-x_d

e2=e·1=x2-x·d]]>

e3=e··1=x·2-x··d=f1(x1,x3)-x··d]]>(11)

e4=e···1=f·1-x···d=∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4-x···d]]>

可知|∂f1∂x3|=KI≤β3.]]>

取滑模函數為

s＝c₁e₁+c₂e₂+c₃e₃+e₄??????(12)

其中c_i＞0，i＝1，2，3；

令則由式(3)、(11)和式(12)得等效控制部分

ueq=-[∂f1∂x3b]-1{c1x2+c2f1+c3(∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4)+ddt[∂f1∂x1x2]+ddt[∂f1∂x2f1]+ddt[∂f1∂x3]x4+∂f1∂x3f2-c1x·d-c2x··d-c3x···d-x···d}---(13)]]>

由設計切換控制部分，得

usw=-[∂f1∂x3b]-1[Msgn(s)+λs]---(14)]]>

其中λ＞0，M的值由下面第4步的穩定性分析得到，sgn(s)=1s>00s=0-1s<0;]]>

控制律設計為等效控制和切換控制之和，即：

u＝u_eq+u_sw????(15)

步驟4：滑模控制律穩定性分析

驗證整個閉環系統的Lyapunov穩定性，取閉環系統Lyapunov函數為V＝V_c+V_o，驗證得出證明該系統在有限時間內達到穩定；然后再分析帶有誤差變量的Lyapunov函數驗證從而保證e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，實現所需的跟蹤效果；

由式(3)、(11)和式(12)得

s·=c1e·1+c2e·2+c3e·3+e·4]]>

=c1x2+c2f1+c3(∂f1∂x1x2+∂f1∂x2f1+∂f1∂x3x4)+ddt[∂f1∂x1x2]---(16)]]>

+ddt[∂f1∂x2f1]+ddt[∂f1∂x3]x4+∂f1∂x3(f2+bu)-c1x·d-c2x··d-c3x···d-x····d]]>

將控制律式(15)代入上式，得

s·=-Msgn(s)-λs]]>

取ρ＞0，取Lyapunov函數為則

V·c=ss·=s(-(β3d‾+ρ)sgn(s)-λs)]]>(17)

=-(β3d‾+ρ)|s|-λs2≤-ρ|s|-λs2≤0]]>

取整個閉環系統的Lyapunov函數為

V=Vc+Vo=12s2+12k1d~2+12x~42]]>

由式(10)和式(17)可知

由式(12)知，當s＝0時，有e₄＝-c₁e₁-c₂e₂-c₃e₃；取A=010001-c1-c2-c3,]]>A為Hurwitz；取E₁＝[e₁?e₂?e₃]^T，則誤差變量寫為

E·1=AE1---(18)]]>

取Q＝Q^T＞0，由于A為Hurwitz，則存在Lyapunov方程A^TP+PA＝-Q，其解為P＝P^T＞0；針對式(18)，取Lyapunov函數為則

V·1=E·1TPE1+E1TPE·1=(AE1)TPE1+E1TP(AE1)]]>

=E1TATPE1+E1TPAE1=E1T(ATP+PA)E1]]>

=-E1TQE1≤-λmin(Q)||E1||22≤0]]>

其中λ_min(Q)為正定陣Q的最小特征值；

由知：e₁→0，e₂→0，即x₁→x_d，實現了跟蹤效果；

步驟5：參數c_i的設計與調節

參數c_i的設計條件為：滿足A為Hurwitz且其中λ_left(-A)表示-A的所有特征根中實部最小的特征根的實部；

為了滿足A為Hurwitz，需要保證A的特征值實部為負，即|A-λI|=-λ100-λ1-c1-c2-c3-λ=λ2(-c3-λ)-c1-c2λ=-λ3-c3λ2-c2λ-c1=0]]>的根實部為負；取特征值為三重根-3，由(λ+3)³＝0可得λ³+9λ²+27λ+27＝0，從而按λ³+c₃λ²+c₂λ+c₁＝0取c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9；

為了驗證是否滿足將c₁＝27，c₂＝27，c₃＝9代入-A中，求得-A的三個特征值均為3，即λ_left(-A)＝3；取β₁＝β₂＝0，則max{d‾1,d‾2,β1d‾1+β2d‾2}=0.1<3,]]>滿足條件；

步驟6：由仿真效果判斷是否需要對參數進行調整

經過Matlab仿真后，若控制效果不能滿足要求，返回步驟5繼續調節參數，直到控制效果達到要求；若控制效果滿足要求，則設計結束；

步驟7：設計結束

整個設計過程分為七大步驟，第一步確定了欠驅動柔性關節機械臂系統的數學模型；第二步設計了干擾觀測器并分析了其是否穩定；第三步得到了系統的滑模控制律；第四步分析了滑模控制律是否穩定；第五步是對設計的控制律進行參數設置；第六步是針對仿真結果對參數進行調整；經過上述各步驟后，設計結束。