[發(fā)明專利]一種基于行與列同時低秩約束的磁共振波譜重建方法

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• 申請日: 2022-07-20
• 公開（公告）號: CN115100314A
• 公開（公告）日: 2022-09-23
• 發(fā)明（設(shè)計）人: 劉書君;曹建鑫;田新雨;張奎;張新征
• 申請（專利權(quán)）人: 重慶大學(xué)
• 主分類號: G06T11/00
• 分類號: G06T11/00;G06F17/16
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1.一種基于行與列同時低秩約束的磁共振波譜重建方法，包括以下步驟：

(1)輸入一個二維磁共振波譜信號的時空編碼數(shù)據(jù)y和欠采樣矩陣U，對于待重建的具有N個行向量和M個列向量的二維磁共振波譜信號X，其第n行中第m列的元素表示為x_n，m；

(2)針對X中第m列的向量x_m，構(gòu)建其對應(yīng)的漢克爾矩陣可表示為：

其中，表示將列向量轉(zhuǎn)換為漢克爾矩陣的線性算符，L表示尺寸參數(shù)；

(3)針對X中第n行的向量xⁿ，構(gòu)建其對應(yīng)的漢克爾矩陣可表示為：

其中，表示將行向量轉(zhuǎn)換為漢克爾矩陣的線性算符，K表示尺寸參數(shù)；

(4)采用非凸的h_ε范數(shù)約束構(gòu)建的漢克爾矩陣的低秩特性，表示任意矩陣L的h_ε范數(shù)，其定義式為：

其中，σ_r為L的第r個奇異值，ε＞0是一個小常數(shù)；

(5)在利用h_ε范數(shù)同時約束X中行與列構(gòu)建的漢克爾矩陣低秩特性的基礎(chǔ)上，建立關(guān)于二維磁共振波譜的重建模型：

其中，F(xiàn)_M表示M×M大小的傅里葉變換矩陣，I_N表示N×N大小的單位矩陣，表示矩陣的克羅內(nèi)克積算符，vec(·)表示將矩陣的各列依次堆疊成向量的算符，表示向量的二范數(shù)的平方，λ表示時空編碼數(shù)據(jù)保真項(xiàng)的正則化參數(shù)；

(6)在重建模型中引入中間變量和并根據(jù)交替方向乘子法求解重建模型中各優(yōu)化變量的子問題：

(6a)固定X和R_n，求解關(guān)于L_m的子問題：

其中，β表示懲罰參數(shù)，T_m表示針對L_m引入的拉格朗日乘子，表示矩陣的Frobenius范數(shù)的平方；

(6b)固定X和L_m，求解關(guān)于R_n的子問題：

其中，Z_n表示針對R_n引入的拉格朗日乘子；

(6c)固定L_m和R_n，求解關(guān)于X的子問題：

(7)在得到各優(yōu)化變量的解后，更新拉格朗日乘子T_m和Z_n，以及懲罰參數(shù)β：

β＝τβ

其中τ＞1表示增長因子，重復(fù)步驟(6)～(7)，直到重建的磁共振波譜滿足條件或迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)上限。

2.根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于行與列同時低秩約束的磁共振波譜重建方法，其特征在于，步驟(6a)和(6b)中求解關(guān)于L_m和R_n的子問題，可以按照以下步驟進(jìn)行：

(6a1)對矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到：

其中，P表示左奇異向量矩陣，V表示右奇異向量矩陣，Δ表示奇異值矩陣；

(6a2)計算關(guān)于矩陣奇異值的閾值參數(shù)μ：

(6a3)對奇異值矩陣Δ中所有對角元素進(jìn)行閾值處理：

其中，Th(·)表示閾值函數(shù)，δ表示Δ中任意對角元素；

(6a4)對Δ中所有對角元素閾值處理后的結(jié)果可表示為Th(Δ)，則關(guān)于L_m的子問題的最優(yōu)解表達(dá)式為：

L_m＝PTh(Δ)V^H

(6b1)對矩陣進(jìn)行奇異值分解，得到：

其中，E表示左奇異向量矩陣，Q表示右奇異向量矩陣，Σ表示奇異值矩陣；

(6b2)通過閾值函數(shù)Th(·)對奇異值矩陣Σ中所有對角元素進(jìn)行閾值處理，結(jié)果可表示為Th(Σ)，則關(guān)于R_n的子問題的最優(yōu)解表達(dá)式為：

R_n＝ETh(Σ) Q^H。

3.根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種基于行與列同時低秩約束的磁共振波譜重建方法，其特征在于，步驟(6c)中求解關(guān)于X的子問題，可以按照以下步驟進(jìn)行：

(6c1)該子問題是一個大規(guī)模的最小二乘問題，為快速計算其近似解，需定義與的共軛運(yùn)算，其定義式為：

其中，表示的共軛算符，A表示任意L×(Ν-L+1)大小的矩陣，a_k，i表示A中第k行中第i列的元素，表示的共軛算符，B表示任意K×(M-K+1)大小的矩陣，b_k，i表示B中第k行中第i列的元素，min(·，·)表示最小值函數(shù)，max(·，·)表示最大值函數(shù)，(·)^T表示矩陣的轉(zhuǎn)置算符；

(6c2)利用共軛算符與計算輔助矩陣J₁與J₂：

另外，計算Ν×Ν大小的對角權(quán)重矩陣與M×M大小的對角權(quán)重矩陣其中的第i個對角元素與的第i個對角元素的表達(dá)式為：

(6c3)引入中間變量s，關(guān)于中間變量s的計算式為：

其中，γ＞0是一個小常數(shù)，I_MN表示MN×MN大小的單位矩陣，I_M表示M×M大小的單位矩陣，I_N表示N×N大小的單位矩陣，表示矩陣的克羅內(nèi)克積算符，(·)^-1表示矩陣的逆，X_last表示上一次迭代中該子問題的解，vec(·)表示將矩陣的各列依次堆疊成向量的算符；

(6c4)在得到中間變量s后，關(guān)于X的子問題的近似解表達(dá)式為：

其中，是M×M大小的傅里葉變換矩陣F_M的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，U^H是欠采樣矩陣U的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，將得到的vec(X)轉(zhuǎn)換為矩陣X即為獲得的近似解。