[發明專利]基于低秩張量環分解和因子先驗的視覺數據補全方法

有效

• 申請號: 202210526890.4
• 申請日: 2022-05-16
• 公開（公告）號: CN114841888B
• 公開（公告）日: 2023-03-28
• 發明（設計）人: 劉欣剛;姚佳敏;張磊;楊旻君;胡曉榮;莊曉淦
• 申請（專利權）人: 電子科技大學
• 主分類號: G06F17/15
• 分類號: G06F17/15;G06T5/00
• 代理公司: 電子科技大學專利中心 51203
• 代理人: 曾磊

1.一種基于低秩張量環分解和因子先驗的視覺數據補全方法，其特征在于，該方法包括以下步驟：

步驟S1)目標張量初始化，具體包括以下子步驟：

S11)獲取不完整的原始視覺數據，通過Matlab軟件將具有缺失條目的原始視覺數據文件讀入，并存儲為張量形式，得到待補全張量取原始視覺數據的所有已知像素點的索引位置組成觀測索引集Ω；

S12)根據待補全張量初始化目標張量/使得映射關系滿足/其中為Ω的補集，表示缺失索引集，/表示目標張量/的已知條目，/表示待補全張量/的已知條目，/表示目標張量/的缺失條目；

步驟S2)模型建立，具體包括以下子步驟：

S21)通過從不完整的原始視覺數據的已知條目中找到對應的張量環分解表示，然后利用所得到的張量環分解表示的TR因子來估計原始視覺數據的缺失條目，得到簡單張量環補全模型為：

其中，表示TR因子集合，/表示第n個TR因子，n＝1,2,...,N，/是張量環分解表示，/表示在觀測索引集Ω下的投影操作，||·||_F表示張量的Frobenius范數；

為了解決這類低秩張量補全方法依賴于初始秩的問題，下面對簡單張量環補全模型進行了改進；

S22)首先引入變換張量奇異值分解，并介紹了涉及的張量基礎代數知識

張量酉變換：對于三階張量假設/是一個酉變換矩陣，滿足ΦΦ^H＝Φ^HΦ＝I，張量/的酉變換定義為：

其中，表示張量/的酉變換，/表示張量/與矩陣Φ的模3乘積，I表示單位矩陣，上標H表示矩陣的共軛轉置，/表示實數域，I_k′,k′＝1,2,3分別表示張量/的第k′階上的維度大??；

塊對角矩陣：基于的所有正向切片的塊對角矩陣定義為：

其中，是/的第i個正向切片，i＝1,2,...,I₃，而/能夠通過折疊算子fold(·)轉換為一個張量，即/

張量Φ積：兩個三階張量之間的Φ積由酉變換域內正向切片的乘積定義，對于兩個張量和/張量Φ積定義為：

其中，*_Φ表示張量Φ積符號，表示張量/的酉變換，張量Φ積結果是一個三階張量上標H表示共軛轉置，I₄表示張量/第二階上的維度大??；

變換張量奇異值分解：主要用于三階張量的因式分解，采用酉變換矩陣Φ代替傳統張量奇異值分解中的離散傅里葉變換矩陣，對于一個三階張量其變換張量奇異值分解表示為：

其中，和/均為酉張量，/為對角張量，

基于變換張量奇異值分解，能夠定義變換張量核范數，對于三階張量假設是一個酉變換矩陣，張量/的變換張量核范數定義為：

其中，||·||_TTNN表示變換張量核范數，||·||_*表示矩陣核范數，表示/的第i個正向切片的矩陣核范數，也即矩陣/的所有奇異值之和；

由于張量秩與TR因子的秩滿足關系其中X_(n)表示張量/的標準模n展開矩陣，/表示/的標準模2展開矩陣，rank(·)表示矩陣的秩函數，利用變換張量核范數來進一步約束每一個TR因子，得到基本低秩張量環補全模型為：

其中，目標張量N表示目標張量/的階數，I_n表示/的第n階的維度大小，表示TR因子集合，/表示第n個TR因子，R_n-1、I_n和R_n分別表示三種維度大小，||·||_TTNN表示變換張量核范數，λ＞0是權衡參數；當上述基本低秩張量環補全模型被優化時，所有TR因子的變換張量核范數和目標張量的擬合誤差同時最小化，在這個基本低秩張量環補全模型中，基于給定的三階TR因子/構造了一個酉變換矩陣/由于/是未知的，能夠迭代地更新Φ_n，這個過程表示為：

其中，表示/的標準模3展開矩陣，/表示展開矩陣/的奇異值分解，U和V分別表示左奇異矩陣和右奇異矩陣，S表示對角矩陣，在變換張量奇異值分解中選擇U^H作為酉變換矩陣，假設/的秩滿足/然后通過執行張量酉變換/就會得到張量/的最后R_n-r個正向切片全是零矩陣，因此，U^H作為一個酉變換矩陣將有助于進一步探索TR因子/的低秩信息；

S23)為了進一步提高視覺數據的補全性能，添加因子先驗來充分利用數據的潛在信息，

在張量環分解中，任意第n個TR因子分別代表原始視覺數據的第n階上的信息，將原始視覺數據的像素局部相似性描述為精確的因子先驗，定義單因子圖的權重如下：

其中，row和column分別表示行空間和列空間，若k＝row，那么i_k和j_k分別表示行空間的任意兩個索引位置，w_ij為相似度矩陣的第(i,j)個元素，σ為所有成對距離i_k-j_k的平均值，令/為對角矩陣，矩陣D中第(i,i)個元素為∑_jw_ij，由此得到拉普拉斯矩陣L＝D-W；

利用TR因子的低秩假設和圖正則化的因子先驗，得到基于低秩張量環分解和因子先驗的視覺數據補全模型為：

其中，上式第一行表示基于低秩張量環分解和因子先驗的視覺數據補全模型的目標函數，第二行表示該目標函數的約束條件，α＝[α₁,α₂,…,α_N]是一個圖正則化參數向量，μ,λ是權衡參數并且μ＞0，λ＞0，tr(·)為矩陣跡操作，拉普拉斯矩陣描述了第n個TR因子內部的相互依賴關系，/表示第n個TR因子/的標準模2展開矩陣，上標T表示矩陣的轉置；

步驟S3)模型求解，具體包括以下子步驟：

S31)構造增廣拉格朗日函數

為了使用交替方向乘子法ADMM計算框架來求解基于低秩張量環分解和因子先驗的視覺數據補全模型的目標函數，首先引入了一系列輔助張量來簡化優化，因此該目標函數的優化問題被重新表示為：

其中，集合表示一個張量序列，/表示第n個TR因子/的對應輔助張量，通過結合輔助張量的附加等式約束/得到該目標函數的增廣拉格朗日函數為：

/

其中，是拉格朗日乘子集合，/是第n個拉格朗日乘子，β＞0是一個懲罰參數，x,y表示張量內積；

然后，對于每個變量，通過固定除該變量之外的其他變量，并依次求解步驟S32)至步驟S35)中每個變量分別對應的優化子問題，交替更新每個變量；

S32)的更新

關于變量的優化子問題被簡化為：

其中，X_＜n＞表示目標張量的循環模n展開矩陣，/表示除第n個TR因子/外的所有因子經多線性乘積合并生成的子鏈張量的循環模2展開矩陣；

通過將上述變量的優化子問題相對于/的一階梯度設為零，上述變量/的優化子問題的解等于求解以下一般的Sylvester矩陣方程：

其中，X_＜n＞表示目標張量的循環模n展開矩陣，和/分別表示/和/的標準模2展開矩陣，/是一個單位矩陣；由于矩陣-L_n和矩陣/沒有共同的特征值，因此該Sylvester矩陣方程有唯一解，其求解通過調用Matlab中的Sylvester函數實現；

S33)的更新

在更新后，首先根據以下公式來更新變換張量核范數中的第n個酉變換矩陣Φ_n，

其中，表示/的標準模3展開矩陣，/表示展開矩陣/的奇異值分解，U和V分別表示左奇異矩陣和右奇異矩陣，S表示對角矩陣；

然后，關于變量的優化子問題被簡化為：

令和/上述變量/的優化子問題等價于：

進一步地，能夠通過變換張量奇異值分解表示為/其中/表示在酉變換矩陣Φ_n下的張量Φ積，/和/均為酉張量，/為對角張量；

變量的優化子問題能夠通過張量奇異值閾值t-SVT算子來求解，求解結果表示為：

其中，中間變量的求解通過首先對/做張量酉變換得到/再根據公式/得到/最后根據/得到中間變量/其中/表示取/和0中更大的一個；

S34)的更新

關于變量的優化子問題被表述為：

這是一個具有等式約束的凸優化問題，變量被更新為：

其中，表示在觀測索引集Ω下的投影操作，/表示在缺失索引集/下的投影操作；

S35)的更新

基于交替方向乘子法ADMM計算框架，拉格朗日乘子被更新為：

此外，所述目標函數的增廣拉格朗日函數的懲罰參數β在每次迭代中通過β＝min(ρβ,β_max)來更新，其中1＜ρ＜1.5是一個調優超參數，β_max表示設定的β上限，min(ρβ,β_max)表示取ρβ和β_max中更小的一個作為當前的β值；

S36)迭代更新

重復步驟S32)-S35)，通過多次迭代來交替更新每個變量，設置兩個收斂條件：最大迭代次數maxiter，以及兩次迭代之間的相對誤差閾值tol，其中，兩次迭代之間的相對誤差計算公式為表示當前的/值，/表示上一次迭代的/值；當同時滿足上述兩個收斂條件時，即達到最大迭代次數maxiter，并滿足兩次迭代之間的相對誤差小于閾值tol時，結束迭代，得到目標張量/的解；

步驟S4)將得到的目標張量的解轉換為原始視覺數據的對應格式，得到不完整的原始視覺數據的最終補全結果。