[發明專利]一種均勻截面梁結構的振動分析方法

有效

• 申請號: 201711016927.4
• 申請日: 2017-10-26
• 公開（公告）號: CN107808048B
• 公開（公告）日: 2020-12-25
• 發明（設計）人: 靳國永;陳玉坤;葉天貴;張春雨;張艷濤;王雪仁;繆旭弘
• 申請（專利權）人: 哈爾濱工程大學
• 主分類號: G06F30/13
• 分類號: G06F30/13;G06F17/14;G06F119/14
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1.一種均勻截面梁結構的振動分析方法，其特征在于，包括以下步驟：

(1)提取梁結構的幾何尺寸特性，將梁結構的位移場分離為截面面內位移和軸向位移，具體表達式為：

U_k(x,y,z)＝Φ_k(x,z)F_k(y)

其中x和z為結構空間沿著梁截面方向的坐標，y為梁軸向坐標，U_k(x,y,z)為梁結構的整體位移，k＝1，2，3分別表示x，y和z三個方向上的分量，Φ_k(x,z)為截面面內位移，F_k(y)為軸向位移；

(2)利用卡諾高階截取技術對梁結構截面面內位移進行擬合，擬合形式如下：

其中，為二維泰勒展開的第τ項；a_k0，a_k1，a_k2，…，a_kΓ為相應泰勒展開項的系數；b₁，b₂，h₁和h₂為梁截面尺寸參數，N為二維泰勒展開的階次，Γ為二維泰勒展開的總項數；

(3)采用改進傅里葉級數對梁結構軸向位移進行延展，具體形式如下：

其中，M為改進傅里葉級數的截斷項數，m＝-2,-1,...,M；b_km代表相應改進傅里葉展開項的系數，L為梁結構的總長度；

(4)結合梁結構截面面內位移和軸向位移，計算得到梁結構的整體位移，具體表達式如下：

其中，U₁(x,y,z)，U₂(x,y,z)和U₃(x,y,z)分別對應空間坐標x，y和z三個方向上的位移分量，A_τm，B_τm和C_τm為位移分量中相應項的系數；

(5)計算梁結構的應變向量和應力向量；

所涉及梁結構的應變向量的表達式為：

ε＝[ε_x,ε_y,ε_z,γ_xy,γ_yz,γ_xz]^T

其中，ε表示梁結構的應變向量；上標T表示轉置；ε_x，ε_y和ε_z為正應變分量；γ_xy，γ_yz和γ_xz為切應變分量，且有

所涉及應力向量的表達式為：

σ＝Dε

其中，σ表示梁結構的應力向量，D為結構材料系數矩陣；

(6)計算梁結構的應變能和動能方程，設置虛擬彈簧邊界從而獲取邊界能，具體表達式如下：

其中，V_s，T_p和V_p分別為梁結構的應變能、動能和邊界能方程；t表示時間，ρ為材料的密度；k_x0，k_y0和k_z0為梁結構y＝0端所設的虛擬彈簧邊界的剛度系數，k_xL，k_yL和k_zL為梁結構y＝L端所設的虛擬彈簧邊界的剛度系數；

(7)建立結構拉格朗日能量泛函Ω＝V_s+V_p-T_p，然后對系數A_τm，B_τm和C_τm求偏導并令其結果為零，即可得到梁結構的3×3階核心質量矩陣和剛度矩陣；核心矩陣中的元素如下：

其中，K^mnij為核心剛度矩陣，M^mnij為核心質量矩陣；上角標i,j＝1,…,Γ；m,n＝-2,-1,0,…,M；下角標a，b和c表示核心矩陣中元素的標號；和表示分別對x和z求一階偏導，和表示分別對x和z求一階偏導，Ψ_m,y和Ψ_n,y分別表示Ψ_m和Ψ_n對y求一階導數；D₁₁,…,D₆₆為結構材料系數矩陣D中的元素；

(8)通過迭代循環核心矩陣求得總體質量矩陣M、總體剛度矩陣，進而得到結構的特征方程；

所述質量矩陣和剛度矩陣的求解方法為：指針i，j由1取到Γ循環核心矩陣K^mnij得到子矩陣K^mn，指針m，n由-2取到M循環子矩陣K^mn得到總體剛度矩陣K，通過相同的方法循環核心質量矩陣M^mnij得到總體質量矩陣M；

所述結構的特征方程表達式為：

(K-ω²M)A＝0

其中ω為圓頻率，A為對應ω的特征向量；

(9)求解梁結構的特征方程矩陣并計算得到固有頻率和振型。